Б1.О.09 НЕПРЕРЫВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Лекции:

1.        Понятие о математическом моделировании. Особенности непрерывного математического моделирования. Основной аппарат. Понятие «жесткой» и «мягкой» модели. Простейшая модель борьбы - модель Ланкастера. «Смягчение» модели. Простейшая модель роста - модель Мальтуса. Логистическая модель.

2.        Дифференциальные уравнения и их системы, как основной элемент построения непрерывной математической модели. Устойчивость модели, как один из основных вопросов исследования. Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения и системы дифференциальных уравнений. Условия устойчивости линейных систем. Исследование устойчивости по первому приближению. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях.

3.        Дифференциальные уравнения в частных производных. Примеры моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Методы расчета таких моделей. Пример: распространение волн в ограниченном и неограниченном объеме.

4.        Описание процессов переноса. Распространение тепла в стержне. Остывание круглого стержня. Использование специальных функций. Физический анализ явлений.

5.        Физические модели, описываемые эллиптическими уравнениями. Задачи Дирихле и Неймана. Различные подходы к решению. Метод разделения переменных. Элементы теории потенциала. Метод функции Грина.

6.        Уравнение Гельмгольца, как другой тип эллиптического уравнения. Физический смысл его решений в зависимости от знака λ. Приведение произвольного эллиптического уравнения 2-го порядка к уравнению Гельмгольца. Условия излучения.

7.        Математические модели в экономике. Кривая Джинни. Модель Эванса установления равновесной цены. Базовая модель Солоу. «Золотое правило» экономического роста.

8.        Математические модели в биологических и социальных системах. Модель развития популяций. Модель войны Ланкастера. Модель Мальтуса. Многоуровневая социальная модель.

 

Практические занятия:

Практическое занятие № 1. Типы математических моделей. Основные требования к модели.

Содержание занятия:

1.Классификация математических моделей;

2. Принцип единства и множественности моделей;

3. Основные требования к модели;

4. Математическая адекватность модели;

5. Основные этапы построения математической модели.

Практическое занятие №2. Качественный анализ систем дифференциальных уравнений.

Содержание занятия:

1. Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений.

2. Устойчивость линейной системы.

3. Анализ простейших моделей.

4. Модель Лотка - Вольтерра.

Практическое занятие №3. Модели с использованием уравнений в частных производных.

Содержание занятия:

1. Дифференциальные уравнения в частных производных. Общие понятия.

2. Примеры модельных задач.

3. Решение волнового уравнения. Электрон на прямой.

4. Уравнение Шредингера.

Практическое занятие №4. Модель переноса излучения. Численные методы решения уравнения переноса.

Содержание занятия:

1. Обсуждение теоретического материала.

2. Обсуждение темы «Интегро-дифференциальное уравнение переноса и методы его решения», предложенной для самостоятельного изучения. По данной теме готовятся доклады с презентациями. Примерные темы докладов:

«Вывод уравнения переноса и области его применения»;

«Численные методы решения уравнения переноса»;

«Приближенные методы решения уравнения переноса».

3. Обсуждение материалов докладов.

Практическое занятие №5. Модели с использованием эллиптических уравнений.

Содержание занятия:

1. Эллиптические уравнения.

2. Решение задачи Дирихле для плоских и пространственных областей.

3. Физическая трактовка.

4. Различные методы решения.

Практическое занятие №6. Модели с использованием уравнения Гельмгольца.

Содержание занятия:

1. Уравнение Гельмгольца. Решение уравнения Гельмгольца.

2. Приведение эллиптического уравнения 2-го порядка к уравнению Гельмгольца.

3. Условия излучения.

Практическое занятие №7. Непрерывные математические модели в экономике.

Содержание занятия:

1. Тема «Математические модели в экономике» предлагается для самостоятельного изучения. По данной теме готовятся доклады с презентациями. Примерные темы докладов:

 «Модели конкуренции»;

«Система «ресурс-потребитель» с независимым ресурсом»;

«Взаимоотношения в системе «хищник-жертва»»;

«Эволюционная оптимальность выживших видов»;

2. Обсуждение материалов докладов.

 

Практическое занятие №8. Жесткие и мягкие математические модели. Модели соперничества.

Содержание занятия:

1. Тема «Жесткие» и «мягкие» математические модели» предлагается для самостоятельного изучения. По данной теме готовятся доклады с презентациями. Примерные темы докладов:

«Модель войны или сражения»;

«Оптимизация как путь к катастрофе»;

«Жесткая модель как путь к ошибочным предсказаниям»;

«Опасность многоступенчатого управления и математическая модель перестройки».

2. Обсуждение материалов докладов.

3. Обсуждение моделей:

Гонка вооружений между двумя странами;

Боевые действия двух армий.

4. Решение задач;

5. Подведение итогов изучения курса. Зачет.

Вопросы к зачёту.

1.Классификация математических моделей;

2. Принцип единства и множественности моделей;

3. Основные требования к модели;

4. Математическая адекватность модели;

5. Основные этапы построения математической модели.

6. Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений.

7. Устойчивость линейной системы.

8. Анализ простейших моделей.

9. Модель Лотка - Вольтерра.

10. Дифференциальные уравнения в частных производных. Общие понятия.

11. Примеры модельных задач.

12. Решение волнового уравнения. Электрон на прямой.

13. Уравнение Шредингера.

14. Вывод уравнения переноса и области его применения.

15. Численные методы решения уравнения переноса.

16. Приближенные методы решения уравнения переноса.

17. Эллиптические уравнения.

18. Решение задачи Дирихле для плоских и пространственных областей.

19. Различные методы решения задачи Дирихле.

20. Уравнение Гельмгольца. Решение уравнения Гельмгольца.

21. Приведение эллиптического уравнения 2-го порядка к уравнению Гельмгольца.

22. Условия излучения.

23. Жесткие и мягкие математические модели.

24. Модели соперничества.

25. Экономика как динамиче­ская система.

26. Модель Солоу.

27. Модель Эванса.

28. Модель развития популяций.

29. Модель войны Ланкастера.

30. Модель Мальтуса.

31. Многоуровневая социальная модель.

32. Кривая Джинни.

 

.

Образец контрольной работы:

1. Привести уравнение к канонической форме в каждой из областей, где сохраняется его тип .

2. Найти закон колебания бесконечной струны, определяемый уравнением  если начальное отклонение задано условием

     где l - заданный отрезок.

Начальная скорость и внешняя возмущающая сила равны 0. Построить профиль стру­ны в моменты времени t=0, t = l/2a, t = l/a.

 

Образец зачётного задания

 

1.Классификация математических моделей

2. Эллиптические уравнения.

3. Найти прямое и обратное преобразование Фурье для функции

                                               .

 

4. Внутри круга 0 <r <1 найти гармоническую функцию U(r,j), принимающую на границе Г данного круга значения